成果簡介：

經典力學有Newton力學、Lagrange力學和Hamilton力學三種等價的表示形式。其中，Hamilton形式把位置空間的二階運動議程組轉化為相空間內的一階正則方程組，即Hamilton議程，它具有對稱的形式，時間深化是辛變換的演化，辛幾何結構是Hamilton系統的重要特征。1984年，我國科學家馮康院士首次將保持Hamilton系統辛幾何結構的思想引和數值分析，創立了辛算法的理論基礎。上世紀九十年代，在馮先生“數值算法應盡可能保持原問題本質特征”的思想指導下，辛算法被進一步推廣為多辛算法。辛與多辛算法能夠分別保持Hamilton系統內在的辛與多辛結構，在有關整體性、結構性及長時間跟蹤能力等方面顯示出壓倒性優勢。

該成果主要創新點包括：

在國際上首次將小波方法與辛算法結合，構造出求解Hamilton系統的小波辛算法和小波多辛算法，證明了相關理論結果（包括精度、穩定性、收斂性和對不變量的保持特性等），并對大量非線性偏微分方程，如Schrodinger方程、Maxwell方程、Kdv方程、Camassa-Holm方程、Zzkharov-Kuznetsov方程等，進行了數值模擬。

研究一些重要的一維和二維非線性波動方程的多辛算法，結合分裂方法、譜方法和擬譜方法，構造出一系列高效率、高精度保結構算法，包括Camassa-Holm議程和Kdv方程的多辛擬譜格式、耦合非線性Schrodinger方程的多辛分裂格式、二維Zzkharov-Kuznetsov方程和二維Kadomtsev-Petviashvili方程的多辛擬譜格式，等等。

針對幾個特殊模型，如Zakharov-Kuznetsov方程和耦合非線性Schrodinger方程，構造顯式或普顯式保結構算法，有效降低了代數系統的計算復雜度，提高了數值計算的效率。